Блог учителя математики Медвєдь Тамари Григорівни: 11 клас 05.05.2021

До уваги учнів 11 класу. Урок он-лайн з алгебри відбудеться у четвер 06.05.2021 (2-й о 08.55). Посилання на уроки будуть у вайбері та на блозі.

Завдання на період дистанційного навчання

(15.03.2021 - 07.05.2021)

11 клас

Алгебра

Четвер 06 травня

Тема «Комбінаторні правила суми та добутку. Перестановки комбінації, розміщення. Повторення»

У четвер 06.05.2021 за розкладом о 08.55 переходимо за посиланням на урок

Tamara M приглашает вас на запланированную конференцию: Zoom.

Тема: Zoom meeting invitation - Zoom Meeting Tamara M

Время: 6 мая 2021 08:55 AM Хельсинки

Подключиться к конференции Zoom

https://us05web.zoom.us/j/86176739736?pwd=UXRZZDdhbHdJTVZMZVJmeDNIM1MzUT09

Идентификатор конференции: 861 7673 9736

Код доступа: 96ta5a

1.Опрацювати теоретичний матеріал

2. Опрацювати приклади розв’язування задач. Записати їх у зошит для класних і домашніх робіт

Комбінаторикою називається розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних сполук, що відповідають тим чи іншим умовам, можна скласти із заданих об'єктів (елементів множини). Часто доводиться розв'язувати задачі, в яких потрібно вибирати з даної кількості елементів такі, що мають певні властивості, або розміщувати їх у певному порядку.

Наприклад, скільки пар чергових можна утворити з 34 учнів класу? Скількома способами можна розмістити 7 гостей за столом? Скільки існує шестицифрових телефонних номерів?

Розглянемо два основних правила, за допомогою яких розв’язується багато задач із комбінаторики.

Приклад 1. У місті N є два університети – політехнічний і економічний. Абітурієнту подобаються три факультети в політехнічному університеті і два – в економічному. Скільки можливостей має абітурієнт для вступу в університет?

Розв’язання. Позначимо буквою А множину факультетів, які обрав абітурієнт в полі технічному університеті, а буквою В – в економічному. Тоді А = {т, n, k}, В = {p, s}. Оскільки ці множини не мають спільних елементів, то загалом абітурієнт має 3 + 2 = 5 можливостей вступати до університету.

Описану ситуацію можна узагальнити у вигляді твердження, яке називається правилом суми.

Якщо елемент деякої множини А можна вибрати m способами, а елемент множини В – n способами, то елемент із множини А або ж із множини В можна вибрати m + n способами.

Правило суми поширюється і на більшу кількість множин.

Приклад 2. Від пункту А до пункту В ведуть три стежки, а від В до С – дві. Скількома маршрутами можна пройти від пункту А до пункту С?

Розв’язання. Щоб пройти від пункту А до пункту В, треба вибрати одну з трьох стежок: 1, 2 або 3. Після того слід вибрати одну з двох інших стежок: 4 чи 5.

Усього від пункту А до пункту С ведуть 6 маршрутів, бо 3 ∙ 2 = 6.

Усі ці маршрути можна позначити за допомогою пар: (1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5). Узагальнимо описану ситуацію.

Якщо перший компонент пари можна вибрати т способами, а другий – п способами, то таку пару можна вибрати тп способами.

Це – правило добутку, його часто називають основним правилом комбінаторики. Зверніть увагу: ідеться про впорядковані пари, складені з різних компонентів.

3. Задача

У класі 34 учня, серед яких 16 хлопців і 18 дівчат.

1) Скількома способами можна вибрати одного учня цього класу?

2) Скількома способами двох учнів — хлопчика й дівчинку?

3) Скількома способами можна вибрати дівчинку?

4) Уже вибрано одного учня. Скількома способами можна вибрати після цього хлопчика й дівчинку?

Розв’яжемо за допомогою таблиці «Вибір правила». (Таблицю «Вибір правила» і все, що позначено червоним кольором – записуємо у зошит)

Розв'язання задачі

1) Хлопчика можна вибрати 16 способами, а дівчинку — 18 способами, тоді за правилом суми або дівчинку, або хлопчика можна вибрати

16+18=34 (способами).

2) За правилом добутку і дівчинку, і хлопчика можна вибрати

16∙18=288 (способами).

3) Дівчинку можна вибрати 18 способами.

4) Якщо один учень уже вибраний, то можливі два варіанти:

а) якщо була обрана дівчинка, тоді дівчат залишилось 17, отже дівчинку можна вибрати 17 способами, а хлопчика — 16, а пару можна вибрати

17∙16=272 (способами).

б) якщо був обраний хлопчик, то їх залишилось 15, отже існує 15 способів вибору хлопчика, для дівчинки — 18 способів, для пари —

15∙18=270 (способів).

За правилом суми маємо

272+270=542 (варіанти).

Відповідь. 1) 34; 2) 288; 3) 18; 4) 542.

Перестановки, розміщення, комбінації

Упорядкована сукупність з n елементів називається перестановкою з n елементів.

Число всіх можливих перестановок з n елементів позначається Р_n і обчислюється за формулою: Р_n = n ∙ (n - 1) ∙ (n - 2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1. Такий добуток скорочено записується як n!.

Зверніть увагу! Одиниця факторіал дорівнює одиниці; нуль факторіал дорівнює одиниці.

Число всіх можливих перестановок з n елементів дорівнює Р_n = n!.

Упорядкована сукупність з m елементів, які вибрані з даних n елементів, називається розміщенням з n елементів до m.

Зверніть увагу! Два розміщення з n елементів до m є різними, якщо вони відрізняються або самими елементами, або їх порядком.

Сукупність з m елементів, які вибрані з даних n елементів, називається комбінацією з m елементів до n.

Зверніть увагу! Дві комбінації з n елементів до m є різними тоді і тільки тоді, коли вони відрізняються хоча б одним елементом. Порядок елементів значення не має.

Зверніть увагу! При розв’язуванні комбінаторних задач спочатку треба визначити, про яке сполучення йдеться в задачі, а потім використовувати відповідну формулу.

Вибір формули для обчислення сполук

Відомо два базових правила, за якими приймають рішення: якою формулою комбінаторики слід користуватися?
Чи це будуть комбінації, перестановки чи розміщення залежить від відповіді на два питання.
1) Чи враховується порядок розміщення елементів?
Якщо відповідь «ні» то застосовуємо формулу комбінацій.
Якщо «так», то маємо два варіанти, які залежать від відповіді на наступне питання:
2) Чи всі елементи входять у сполуку?
Якщо «так» то обчислюємо через перестановки, якщо «ні» застосовуємо формулу розміщень.
Щоб легше запам'ятались ці правила наведемо наступний рисунок, вивчивши який у Вас не виникатиме труднощів з основними комбінаторними задачами.

1. Скількома способами можна розставити на полиці 5 різних книжок?
Розв’язання: спершу обчислимо за допомогою логічних висновків. На перше місце можемо поставити одну з 5 книг, на друге – одну з 4 (оскільки одна вже вибрана на перше місце), на 3 – одну з 3, 4 – одну з 2, і нна останнє місце можна поставити ту книгу що залишилася. Кількість способів розставити книгу рівна добутку кількості варіантів вибрати книгу на кожне місце, тобто
5!=5•4•3•2•1=120 способів.
Тепер розв’яжемо через формули комбінаторики.
Для цього дамо відповідь на 2 запитання описані на початку:
1) Чи враховується порядок розміщення елементів? Так.
2) Чи всі елементи входять до сполуки? Так.
В такому разі обчислюємо перестановки 5 книг
P₅=5!= 5•4•3•2•1=120
Відповідь: 120 способів.

2. Телефонні номера на початку містять номер операторів 068, 067, 097, 098, а далі йдуть 7 номерів телефону абонента.
Скільки телефонних семизначних номерів можна скласти з цифр від одиниці до 9 при умові, що цифри у номері не повторюються?
Розв’язання: Дану задачу можна обчислювати як логічно так і через формули, при великих значеннях цифр або складніших початкових умовах задач логіка вас може підвести, а от формули – ні.
1) Чи враховується порядок розміщення елементів? Так.
2) Чи всі елементи входять до сполуки? Ні, оскільки маємо 9 цифр, а потрібно вибрати 7 із них.
Тоді за схемою застосовуємо формулу розміщень

Отримали 181 тисячу 440 різних номерів, в яких цифри від 1 до 9 не повторюються.

3. Скількома способами можна вибрати 3 різні фарби із 5 різних фарб?

Розв’язання: Маємо задачу на розміщення і вона по структурі ідентична до попередньої.

Першою можемо вибрати одну з 5 фарб, другою одну з 4 і третьою одну з 3.
Кількість способів рівна добутку 5•4•3=60 способів.
ІІ спосіб
Перевіряємо умову
1) Чи враховується порядок розміщення елементів? Так.
2) Чи всі елементи входять до сполуки? Ні, оскільки маємо 5 різних фарб і всього 3 місця на які їх можна вибрати.
Тому застосовуємо розміщення

Відповідь: 60.

4. Скількома способами можна з 20 чоловік призначити двох чергових з однаковими обов’язками?

Розв’язання: Всі хто хотів робити по аналогії з попередніми завданнями отримають у відповідь 20•19=380, що є неправильним.
А все тому, що маємо підказку «чергові з однаковими обов’язками», тобто Андрій, Василь чи Василь, Андрій є одним і тим самим, однією комбінацією.
А на перше питання «Чи враховується порядок розміщення елементів?» маємо відповідь «Ні».
Тому тут слід використовувати формулу комбінацій з 20 чоловік по 2

Уважно перегляньте як спрощують факторіали, без розуміння цього Вам доведеться малювати дроби на ширину листка.
Відповідь: є 190 способів вибрати 2 чергових з 20 з однаковими обов’язками.

5. Скільки прямих можна побудувати через 10 точок?

Розв’язання: З курсу геометрії відомо, що пряму можна побудувати через 2 точки.
Припустимо, що задані точки не лежать на одній прямій, оскільки в протилежному випадку задача буде дещо невизначена.
Далі нам неважливий порядок розміщення точок на прямій, що веде до застосування формули комбінацій з 10 по 2

В
ідповідь: через 10 точок можна побудувати 45 прямих.

Поєднання елементів комбінаторики та комбінаторного множення з додаванням

Далі наведені більш складні комбінаторні задачі, які вимагають при обчисленнях застосування однієї з формул комбінаторики з правилом додавання та множення, тому уважно перегляньте, що робити коли маємо в умові «І» та «АБО».

6. У підрозділі 3 офіцерів та 49 солдат.
Скількома способами мож-на виділити наряд, який складається із 2 солдат і двох офіцерів?
Розв’язання: Нам неважливо порядок входження офіцерів та солдат в наряд, тому тут застосовуємо комбінації.
Вибрати 2 солдат із 49 можна через комбінації з 49 по 2, офіцерів – з 3 по 2.
Нам потрібно вибрати і солдат і офіцерів, тому застосовуємо формулу комбінаторного множення

Відповідь: 3528 способами.

7. Із 10 троянд і 5 жоржин та 7 ромашок треба скласти букет так, щоб в ньому були по 3 квітки з кожного сорту.
Скількома способами можна скласти букет?
Розв’язання: Порядок входження квітів неважливий, тому через комбінації знаходимо кількість способів вибрати 3 троянди з 10, 3 жоржини з 5 та 3 ромашки з 7.
Далі оскільки маємо букет, то потрібно і ті, і інші квіти. А це правило множення, тому відповіддю буде добуток наступних комбінацій

Відповідь: 42000 способів.

8. Із шести бігунів і трьох стрибунів треба скласти команду із 4 чоловік, в яку б входив хоч би один стрибун.
Скількома способами це можна зробити?
Розв’язання: Умова хоча б один стрибун при виборі з 3 означає, що або 1 або 2 або 3 стрибуни можна вибирати.
При цьому залишається вибрати ще 3 з шести бігунів для 1 стрибуна або 2 з 6 бігунів для 2 стрибунів і 1 з 6 для 3 стрибунів.
Умова «або» означає, що потрібно застосувати комбінаторну формулу сумування.
Таким чином отримаємо наступну суму добутків комбінацій